轴对称热弹性问题杂交基本解有限元分析(2)
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【摘要】式中:为基本解表示的域内插值函数矩阵;ce为待定系数列阵;变量上方波浪线表示变量位于单元边界上.Ne需满足齐次控制方程为 式中:L为微分算子矩阵;D为弹
式中:为基本解表示的域内插值函数矩阵;ce为待定系数列阵;变量上方波浪线表示变量位于单元边界上.Ne需满足齐次控制方程为
式中:L为微分算子矩阵;D为弹性矩阵,其形式为
其中
根据弹性力学位移应变关系及本构关系,相应应力写成微分算子形式为
式中:相应表面力可写成
其中
式中:和nz分别为单元边界外法线沿坐标r和z方向的余弦.
辅助网线场可通过自然坐标系ξ∈[-1,1]来构造.对图1所示的8节点四边形单元,每条边布置3个节点,可构造二次网线函数为
2.2 修正变分泛函
单元域内场和辅助网线场之间的联系是通过修正变分泛函实现的.控制方程为齐次时,通过高斯散度定理可去除变分泛函中的域积分.然而,控制方程为非齐次时,变分泛函中的域积分无法直接去除.为解决这个问题,本文只构造原问题齐次情形的变分泛函,暂时排除边界条件中因非齐次项诱发的特解部分.整个求解域对应的变分泛函可写成所有单元泛函的叠加形式为
式中:为应变向量;Γeu和Γet分别为单元上给定位移和表面力的边界;ΓeI为单元间的交边界,Γe=Γeu+Γet+ΓeI.同时,在Γeu上有
考虑式(18),对式(26)第一项应用高斯散度定理可得
将式(27)代入式(26),原泛函可简化为仅含边界积分的形式为
将式(16)、式(17)、式(22)和式(23)代入式(28),可得
其中
对式(29)应用两次驻值原理,可得待定系数列阵和单元刚度方程为
式中:为单元刚度矩阵;Pe为等效节点载荷列阵.
2.3 刚体运动项恢复
将上述单元刚度方程组装成总体刚度方程,采用乘大数法引入位移边界条件即可求得所有节点的齐次解,进一步与获得的特解叠加便可求得节点处的位移全解.需要注意的是,单元域内任一点处的位移还需恢复刚体位移项,具体原因和恢复方法参见文献[7-9],本文因篇幅所限不再复述.
3 数值算例
3.1 离心载荷作用下带孔圆球
为分析离心载荷下物体内部位移分布,给出带圆柱孔的球体结构,如图2(a)所示.由于对称性,只分析1/4结构,圆柱孔半径r0=1,圆球半径为r0+1.本例分析中,弹性模量E=1,泊松比v=0.3,边界条件及网格剖分如图2(b)所示.采用杂交基本解有限元法求解时,需要注意单元域外源点位置.由于这些源点位置与网格单元大小有关,为避免奇异性,子午面内的源点不得配置在z轴左侧.图3给出杂交基本解有限元和ABAQUS位移计算结果,二者吻合良好.
图2 带孔圆球及其网格剖分Fig.2 Perforated sphere and mesh configuration
图3 总位移云图Fig.3 Total displacement nephogram
3.2 温度荷载下厚壁圆筒
本节对厚壁圆筒内热应力的分布情况进行分析.厚壁圆筒尺寸如图4所示.厚壁圆筒内径a=1,外径b=a+1,高h=0.5,内外表面为自由边界条件,上下表面径向固定.弹性模量和泊松比与3.1节中算例相同.
对于热传导问题,若厚壁圆筒内表面温度变化为t1=Ta,t2=0,外表面温度变化为零,厚壁圆筒的温度场解析解可表示为
图4 厚壁圆筒及其网格划分Fig.4 Thick-walled cylinder and mesh configuration
将式(32)代入式(15),并考虑圆柱坐标系,可得方程为
对式(33)两次积分,可得热弹性位移势为
求得热弹性位移势后,位移特解可通过式(14)获得,应力特解通过位移应变关系和本构关系推得.为方便对比,给出此温度场下的应力解析解为
解析解和杂交基本解有限元解见表1和表2.两者对比,取相同精度时结果十分吻合.
表1 径向应力Table 1 Radial stress Pa坐标(r)/m解析解本文方法1.062 5-0.000 93-0.000 931.312 5-0.002 39-0.002 391.562 5-0.002 05-0.002 051.687 5-0.001 57-0.001 571.937 5-0.000 34-0.000 34
表2 周向应力Table 2 Circumferential stress Pa坐标(r)/m解析解本文方法1.062 5-0.014 06-0.014 061.312 5-0.003 89-0.003 891.562 5-0.002 96-0.002 961.687 50.005 660.005 661.937 50.101 200.101 20
4 结 语
针对轴对称热弹性问题,引入热弹性位移势得到一组位移和应力特解.若温度场解析解比较复杂甚至不存在,可根据热弹性位移势导出Poisson方程进而求得近似特解.将特解与杂交基本解有限元列式结合获得齐次解,利用线性叠加原理即可求得全解.本文方法求解过程理论清晰,编程简易,由特解法去除因温度荷载引起的域积分后,杂交基本解有限元法的固有优点得以保持.
[1] JIROUSEK J,LEON N.A powerful finite element for plate bending[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1977,12(1):77-96.
文章来源:《固体力学学报》 网址: http://www.gtlxxbzz.cn/qikandaodu/2021/0326/487.html